La soluci\u00f3n a una conjetura formulada por el matem\u00e1tico h\u00fangaro Paul Erd\u0151s hace 80 a\u00f1os corona un a\u00f1o y medio de extraordinarios avances en el estudio de los n\u00fameros primos<\/p>\n
A falta de probetas o telescopios, el laboratorio del matem\u00e1tico \u2013completamente port\u00e1til\u2013 consiste en una colecci\u00f3n de problemas de dificultad variada. Conviven en ella preguntas al alcance de las t\u00e9cnicas actuales con otras que requieren, en apariencia, ideas nuevas; sin olvidar esos oscuros objetos del deseo, inconfesables incluso a los colaboradores m\u00e1s cercanos, que uno espera secretamente resolver pese al convencimiento de que pasar\u00e1n d\u00e9cadas sin ver ning\u00fan progreso. Siempre queda la esperanza de que la ciencia no avanza linealmente y, por tanto, no hay pron\u00f3stico fiable. Hasta el gran David Hilbert se equivoc\u00f3 al considerar, en su lista de problemas que marcar\u00edan la investigaci\u00f3n del siglo XX, que la hip\u00f3tesis de Riemann caer\u00eda mucho antes que otro problema que se resolvi\u00f3 en apenas treinta a\u00f1os.<\/p>\n
Quienes se dedican al estudio de los n\u00fameros primos conocen bien los l\u00edmites de estas predicciones. Ni los m\u00e1s optimistas se habr\u00edan atrevido a imaginar los progresos espectaculares que ha vivido esta disciplina en el \u00faltimo a\u00f1o y medio, desde que el matem\u00e1tico de origen chino Yitang Zhang anunciara, en la primavera de 2013, que existen infinitos pares de n\u00fameros primos a distancia acotada. Como explica Andrew Granville, de la Universidad de Montreal, su generaci\u00f3n creci\u00f3 con la idea de que “esas preguntas eternas siempre estar\u00edan all\u00ed\u201d, pero los avances recientes han hecho que los j\u00f3venes que se inician hoy en d\u00eda en la teor\u00eda de n\u00fameros \u201csientan que todo es posible\u201d. Entre ellos destaca James Maynard (nacido en 1987), que, al poco de defender su tesis doctoral, sorprendi\u00f3 de nuevo a la comunidad matem\u00e1tica con una impresionante mejora de los resultados de Zhang, que bien merece el gui\u00f1o borgiano de \u201cautor del teorema del a\u00f1o\u201d.<\/p>\n
Distancias entre n\u00fameros primos<\/p>\n
Una de las particularidades de la teor\u00eda \u201ccl\u00e1sica\u201d de n\u00fameros, respecto a otras \u00e1reas de las matem\u00e1ticas, es que muchos de sus problemas admiten un enunciado elemental, por muy dif\u00edcil que pueda resultar su soluci\u00f3n. Cuando, pongamos, un ge\u00f3metra algebraico intenta explicar sus investigaciones, el primer obst\u00e1culo al que se enfrenta es que su objeto mismo de estudio es el fruto de un largo proceso de abstracci\u00f3n. Los teoremas de Zhang y Maynard tratan, sin embargo, de los n\u00fameros que utilizamos a diario para contar; en concreto, de los n\u00fameros primos, aquellos \u00fanicamente divisibles por uno y por s\u00ed mismos. Por ejemplo, 2, 3, 5, 163 o 27644437 son primos, pero 15 (divisible por 3 y 5) no lo es, ni tampoco ning\u00fan n\u00famero par mayor que 2. Podr\u00edamos llamarlos \u201cladrillos b\u00e1sicos de la aritm\u00e9tica\u201d, pues cualquier otro n\u00famero se obtiene multiplicando primos.<\/p>\n
Los primos abundan entre los n\u00fameros peque\u00f1os, pero pronto se vuelven m\u00e1s y m\u00e1s escasos. Su distribuci\u00f3n precisa sigue siendo un misterio: dado un n\u00famero primo, \u00bfcu\u00e1ntas unidades tenemos que avanzar hasta encontrar el siguiente? Esta cantidad se denomina distancia entre primos sucesivos (prime gap en ingl\u00e9s). Con la excepci\u00f3n de 2 y 3, todos los n\u00fameros primos est\u00e1n separados por al menos dos unidades. Otra propiedad elemental es que los saltos entre primos pueden ser arbitrariamente grandes, pues ninguno de los n (ene) n\u00fameros del intervalo (n!+1, n!+n) es primo. As\u00ed se puede interpretar un t\u00edtulo como \u201cLa soledad de los n\u00fameros primos\u201d, la novela de Paolo Giordano. Por el contrario, cuando la distancia entre dos primos consecutivos es exactamente dos, es decir, la m\u00ednima posible, hablamos de primos gemelos; por ejemplo, 5 y 7, 311 y 313 o 360287 y 360289. La conjetura de los primos gemelos afirma que existen infinitos pares de estos n\u00fameros.<\/p>\n
70 millones de separaci\u00f3n<\/p>\n
El annus mirabilis de los n\u00fameros primos comenz\u00f3 en abril de 2013, cuando Zhang, por entonces un desconocido, envi\u00f3 a la revista Annals of Mathematics \u2013el equivalente de Nature o Science para los matem\u00e1ticos\u2013 un art\u00edculo titulado Bounded gaps between primes, en el que demostraba que existen infinitos pares de n\u00fameros primos separados por menos de 70 millones. Zhang tomaba como punto de partida los importantes trabajos de Dan Goldston, J\u00e1nos Pintz y Cem Yildrim. Tras un mes de revisi\u00f3n por un comit\u00e9 de expertos (un plazo extraordinariamente corto para una revista en la que las idas y venidas de informes de lectura pueden durar varios a\u00f1os), la versi\u00f3n electr\u00f3nica del art\u00edculo de Zhang se public\u00f3 a mediados de mayo de 2013. Durante semanas, en los departamentos de matem\u00e1ticas no se hablaba de otra cosa. Hay quien dijo entonces, con humor, que solo un matem\u00e1tico es capaz de alegrarse de encontrar el n\u00famero 70 millones cuando la respuesta esperada es 2. Pero, como declar\u00f3 el propio Goldston, \u201cla diferencia entre 2 y 70 millones no es nada en comparaci\u00f3n con la diferencia entre 70 millones e infinito\u201d. Y la mejor prueba es que, en poco tiempo, se consigui\u00f3 reducir la cota hasta 246.<\/p>\n
Los primos abundan entre los n\u00fameros peque\u00f1os, pero pronto se vuelven m\u00e1s y m\u00e1s escasos. Su distribuci\u00f3n precisa sigue siendo un misterio<\/p>\n
Con este prop\u00f3sito se inici\u00f3 el proyecto Polymath, una iniciativa de colaboraci\u00f3n masiva online nacida a ra\u00edz de una entrada del blog de Timothy Gowers. En ella, el matem\u00e1tico brit\u00e1nico se preguntaba si ser\u00eda posible que un nuevo modo de trabajo, basado en peque\u00f1as contribuciones de muchos matem\u00e1ticos distintos a trav\u00e9s de un foro p\u00fablico del estilo de Wikipedia, sustituyera en ciertos casos a la forma tradicional de colaboraci\u00f3n, en la que un reducido n\u00famero de personas (a menudo dos o tres) discuten en privado. Convencido de que se pod\u00edan mejorar sustancialmente los resultados de Zhang, Terence Tao, de la Universidad de California, lanz\u00f3 a principios de junio de 2013 el octavo proyecto Polymath, con el objetivo de entender mejor las t\u00e9cnicas del art\u00edculo y reducir la cota de 70 millones. Durante cinco meses, expertos consagrados, doctorandos, estudiantes de licenciatura o simplemente aficionados aunaron esfuerzos para alcanzar el ansiado 2. Todav\u00eda mayor era el n\u00famero de matem\u00e1ticos que, sin participar activamente, segu\u00edan a diario los avances, casi como una cuenta atr\u00e1s. A finales de octubre se hab\u00eda bajado hasta 4.680, y un art\u00edculo explicando las mejoras estaba casi listo para publicaci\u00f3n.<\/p>\n
Y entonces lleg\u00f3 James Maynard. Durante su tesis en la Universidad de Oxford, hab\u00eda estudiado cuestiones muy relacionadas con las distancias entre primos. Una vez iniciado el proyecto Polymath, no pretend\u00eda continuar en esta l\u00ednea, \u201cpara evitar la competici\u00f3n\u201d. Pero un d\u00eda, trabajando en solitario, se dio cuenta de c\u00f3mo modificar el m\u00e9todo de Goldston, Pintz y Yildrim para probar que hay infinitos pares de primos separados por menos de 600 unidades. Sus nuevas ideas no solo proporcionaban la mejor cota conocida hasta el momento, sino que adem\u00e1s simplificaban la prueba de Zhang y permit\u00edan asimismo estudiar las diferencias entre primos no consecutivos. El trabajo de Maynard, Small gaps between primes\u2013tambi\u00e9n publicado por Annals of Mathematics\u2013 suscit\u00f3 r\u00e1pidamente el entusiasmo de los miembros de Polymath, que a partir de \u00e9l obtuvieron la cota r\u00e9cord de 246 incondicionalmente, y de 6 suponiendo que la llamada conjetura de Elliot-Halberstam sea cierta. Por desgracia (o por suerte), la comunidad parece estar de acuerdo en que hacen falta ideas nuevas para atacar la conjetura de los primos gemelos.<\/p>\n
La conjetura de Erd\u0151s<\/p>\n
Sin embargo, otras sorpresas esperaban a los te\u00f3ricos de n\u00fameros, que empiezan a acostumbrarse a las celebraciones. En agosto de 2014, con solo un d\u00eda de diferencia, aparecieron en el servidor arXiv dos art\u00edculos que confirmaban independientemente una conjetura formulada por el matem\u00e1tico h\u00fangaro Paul Erd\u0151s casi hace 80 a\u00f1os: el primero firmado por Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin y Terence Tao, y el segundo, de nuevo por James Maynard. Acto seguido, los cinco autores se pusieron de acuerdo para trabajar juntos, dando como resultado un nuevo texto, Long gaps between primes, publicado hace unas semanas.<\/p>\n
No se trata, en este caso, de estudiar las distancias peque\u00f1as, sino de estimar c\u00f3mo de grandes pueden ser en comparaci\u00f3n con el tama\u00f1o de los primos. Su f\u00f3rmula hace intervenir diez logaritmos, un n\u00famero insultantemente alto, \u201calgo rid\u00edculo, que a nadie se le ocurrir\u00eda\u201d, en palabras de Tao. \u201cAl fin y al cabo, seguimos sin entender bien los n\u00fameros primos\u201d. Exc\u00e9ntrico entre los exc\u00e9ntricos \u2013como lo llam\u00f3 la revista Time\u2013, Erd\u0151s fue uno de los cient\u00edficos m\u00e1s prol\u00edficos del siglo pasado, con m\u00e1s de 1500 art\u00edculos en combinatoria, teor\u00eda de n\u00fameros y probabilidad, escritos con alrededor de 500 coautores, en cuyas casas se iba alojando. Tanto es as\u00ed que existe un n\u00famero de Erd\u0151s destinado a cuantificar la \u201cdistancia colaborativa\u201d entre matem\u00e1ticos.<\/p>\n
A lo largo de su vida, adem\u00e1s de resolver miles de problemas, Erd\u0151s plante\u00f3 muchos otros, que le gustaba presentar acompa\u00f1ados de una recompensa econ\u00f3mica. Esta pod\u00eda variar entre 25 d\u00f3lares y 10.000, la suma m\u00e1s alta, ofrecida \u201ctal vez con cierta precipitaci\u00f3n\u201d precisamente para quien resolviera la conjetura sobre las grandes distancias entre primos. A la espera de un nuevo descubrimiento, cabe preguntarse: \u00bfqui\u00e9n pagar\u00e1 los 10.000 d\u00f3lares?<\/p>\n
Todo n\u00famero impar mayor que 5 es la suma de tres primos<\/p>\n
La conjetura de Goldbach es otro de los problemas sobre n\u00fameros primos que, pese su enunciado elemental, se ha resistido a generaciones enteras de matem\u00e1ticos, \u00a1incluso al t\u00edo Petros! Formulado por el alem\u00e1n Christian Goldbach en una carta a Euler en 1742, el problema consiste en demostrar que todo n\u00famero par mayor que 2 se puede obtener como suma de dos n\u00fameros primos, como es el caso de 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5 o 10=3+7. Si la conjetura es cierta, entonces todo n\u00famero impar mayor que 5 es suma de tres n\u00fameros primos, un enunciado que se conoce con el nombre de conjetura ternaria de Goldbach. En el a\u00f1o 2013, este \u00faltimo fue demostrado por el matem\u00e1tico de origen peruano Harald Helfgott, investigador del CNRS. Desde los trabajos de Vinogradov en 1937 se sab\u00eda que la conjetura ternaria era cierta para n\u00fameros mayores que una cierta constante, pero esa constante era tan gigantesca que imposibilita cualquier verificaci\u00f3n por ordenador de los casos restantes. Un nuevo enfoque permiti\u00f3 a Helfgott reducir la cota, convirtiendo la comprobaci\u00f3n final de la conjetura en \u201cuna tarea computacional menor\u201d.<\/p>\n
*Javier Fres\u00e1n es matem\u00e1tico y autor de varias libros de divulgaci\u00f3n, el \u00faltimo de ellos Los n\u00fameros trascendentes (CSIC-Libros de la Catarata, 2013), en colaboraci\u00f3n con Juanjo Ru\u00e9. En la actualidad trabaja como investigador postdoctoral en el ETH de Z\u00fcrich.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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