Los matem\u00e1ticos no se detienen. Ni siquiera cuando al borde de una ecuaci\u00f3n, de una cifra, divisan el infinito. Para eso, para contar las cosas del infinito, inventaron la teor\u00eda de conjuntos. \u00bfDe d\u00f3nde viene, para d\u00f3nde va? Unas cuantas respuestas y muchas preguntas m\u00e1s.<\/p>\n
N\u00fameros para contar y n\u00fameros para medir. Los primeros los aprendemos temprano, casi sin darnos cuenta, jugando con los dedos de las manos. A esos los llamamos n\u00fameros naturales. Los segundos son m\u00e1s misteriosos. A los griegos los obsesionaban. Un cuadrado que med\u00eda un metro por cada lado ten\u00eda una diagonal cuya magnitud en metros era de cierta manera imposible de atrapar: no era ni n\u00famero natural ni divisi\u00f3n de n\u00fameros naturales. Era algo distinto. Lo mismo con el per\u00edmetro de un c\u00edrculo de di\u00e1metro uno, que es a lo que ahora llamamos \u03c0. Hab\u00eda algo extra\u00f1o con esos n\u00fameros pero aparec\u00edan sin esfuerzo por ah\u00ed, as\u00ed que si algo estaba mal no eran ellos sino nuestra concepci\u00f3n ingenua de lo que los n\u00fameros pod\u00edan ser. Por eso a los n\u00fameros para medir los llamamos n\u00fameros reales, porque son ineludibles. Si en una l\u00ednea recta decidimos qui\u00e9n es cero y qui\u00e9n es uno, a cada punto de la recta le corresponde exactamente un n\u00famero real. <\/p>\n
Los n\u00fameros naturales sirven para contar colecciones de cosas, tambi\u00e9n llamadas conjuntos. Basta asignar a cada cosa n\u00fameros naturales en orden hasta que se acaben las cosas o los n\u00fameros. Si se acaban las cosas, el \u00faltimo n\u00famero que utilizamos nos dice cu\u00e1ntas son. Si se acaban los n\u00fameros, decimos que el conjunto es infinito, pero esta es una respuesta insatisfactoria. Ser\u00eda ideal poder contar hasta el final. Eso es m\u00e1s dif\u00edcil. Los n\u00fameros naturales no son suficientes. Necesitamos m\u00e1s.<\/p>\n
Tomemos por ejemplo los n\u00fameros reales. Ahora intentemos contarlos. Agarremos n\u00fameros reales uno a uno y a cada n\u00famero real asign\u00e9mosle un n\u00famero natural. Hagan el intento. \u00bfSer\u00e1 que si somos suficientemente cuidadosos podemos agotar los n\u00fameros reales cont\u00e1ndolos con n\u00fameros naturales? A simple vista parecer\u00eda que no. En la recta los n\u00fameros naturales son puntos aislados, muy pocos comparados con la multitud de puntos posibles. Pero tal vez haya una manera ingeniosa de emparejarlos, \u00bfpor qu\u00e9 no? \u00bfAcaso cu\u00e1ntos infinitos hay?<\/p>\n
Podr\u00eda decirse que esa es la pregunta fundacional de la teor\u00eda de conjuntos, un \u00e1rea de la matem\u00e1tica que surgi\u00f3 con los trabajos de Georg Cantor a finales del siglo XIX.<\/p>\n
Cantor quer\u00eda contar aplicaciones repetitivas de un cierto procedimiento y not\u00f3 preocupado que cuando se acababan los n\u00fameros naturales todav\u00eda exist\u00eda la oportunidad de ejecutar el procedimiento una vez m\u00e1s. Tal vez otros hab\u00edan llegado antes a la misma situaci\u00f3n pero no se hab\u00edan atrevido a dar el paso por puro v\u00e9rtigo. Cantor no dud\u00f3, y con este paso abri\u00f3 la puerta de una serie de descubrimientos que revolucionaron la matem\u00e1tica y la filosof\u00eda de su tiempo.<\/p>\n
Gracias a Cantor ahora sabemos que es imposible contar los n\u00fameros reales usando n\u00fameros naturales: tienen tama\u00f1os infinitos estrictamente distintos. Tambi\u00e9n sabemos que hay infinitos tama\u00f1os infinitos, apilados unos sobre otros en una columna interminable, que sirven para contar el tama\u00f1o de cualquier conjunto. Estudiamos los infinitos por lo mismo que estudiamos los \u00e1rboles. Est\u00e1n ah\u00ed, no podemos ignorarlos.<\/p>\n
Ese es apenas el principio de la historia. Los infinitos de Cantor eran como animales salvajes imposibles de contener. La teor\u00eda de conjuntos fue creada para domesticarlos y aclarar su naturaleza. Pero incluso una vez domesticados continuaron generando preguntas. Una crucial es la siguiente: ya sabemos que el tama\u00f1o de los n\u00fameros reales, tambi\u00e9n llamado el continuo, es mayor al de los n\u00fameros naturales, \u00bfpero cu\u00e1n mayor? \u00bfEs el siguiente infinito? \u00bfO el siguiente siguiente? \u00bfO el siguiente siguiente siguiente\u2026?<\/p>\n
La respuesta, sorprendente, tard\u00f3 casi un siglo: puede ser casi cualquiera, depende, dijeron a d\u00fao Kurt G\u00f6del y Paul Cohen. Si queremos decidir el tama\u00f1o del continuo debemos reforzar el aparato formal que usamos para domesticar los infinitos. Como si al tiempo existieran y los so\u00f1\u00e1ramos. El \u00fanico criterio a mano es nuestra percepci\u00f3n de lo correcto, que en matem\u00e1tica es casi siempre indistinguible de lo hermoso. Por eso algunos dicen que la teor\u00eda de conjuntos es ciencia pero tambi\u00e9n es juego y poes\u00eda.<\/p>\n
*Matem\u00e1tico y escritor colombiano residente en Canad\u00e1. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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