Muchos de nosotros damos por sentado que las matem\u00e1ticas funcionan. Los f\u00edsicos formulan ecuaciones que describen el comportamiento de las part\u00edculas subat\u00f3micas y los ingenieros calculan la trayectoria de una nave espacial. Aceptamos el punto de vista propugnado por Galileo: las matem\u00e1ticas constituyen el lenguaje en el que est\u00e1 escrito el libro de la naturaleza. Esperamos que su gram\u00e1tica explique los resultados experimentales y que incluso prediga nuevos fen\u00f3menos. Resulta muy dif\u00edcil subestimar su poder. Considere, por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell. Estas cuatro expresiones no solo resum\u00edan todos los conocimientos de la \u00e9poca sobre la electricidad y el magnetismo, sino que predijeron la existencia de las ondas de radio dos d\u00e9cadas antes de que Heinrich Hertz las detectara. Pocos lenguajes logran articular tanto de manera tan sucinta y precisa. Albert Einstein se preguntaba: \u201c\u00bfC\u00f3mo es posible que las matem\u00e1ticas, una creaci\u00f3n humana independiente de la experiencia, se ajusten de una manera tan excelente a los objetos de la realidad f\u00edsica?\u201d.<\/p>\n
El quid de la cuesti\u00f3n encierra un debate que matem\u00e1ticos, f\u00edsicos, fil\u00f3sofos y cient\u00edficos cognitivos han mantenido desde hace siglos. \u00bfSon las matem\u00e1ticas un conjunto de herramientas inventadas, como opinaba Einstein, o existen de veras en alg\u00fan dominio abstracto, cuyas propiedades nos limitamos a descubrir los humanos? Muchos matem\u00e1ticos brillantes, como David Hilbert, Georg Cantor y el grupo conocido como Nicolas Bourbaki, compartieron el parecer de Einstein, asociado a la escuela formalista; otros, como Godfrey Harold Hardy, Roger Penrose o Kurt G\u00f6del, han sostenido la postura contraria, el platonismo matem\u00e1tico.<\/p>\n
El debate sobre la naturaleza de las matem\u00e1ticas sigue vivo y parece evadir una respuesta. En mi opini\u00f3n, plantear la pregunta en t\u00e9rminos binarios excluye una posibilidad m\u00e1s sutil: que tanto la invenci\u00f3n como el descubrimiento desempe\u00f1en funciones clave. Es la combinaci\u00f3n de ambos lo que da cuenta del excelente funcionamiento de las matem\u00e1ticas. Y aunque eliminar la dicotom\u00eda no explique por completo la eficacia de las matem\u00e1ticas, se trata de un problema tan profundo que hasta el paso m\u00e1s modesto hacia su soluci\u00f3n constituir\u00eda un progreso.<\/p>\n
Invenci\u00f3n y descubrimiento <\/p>\n
Las matem\u00e1ticas tienen dos formas de resultar irrazonablemente eficaces: una activa y otra pasiva. En ocasiones, los cient\u00edficos crean m\u00e9todos espec\u00edficos para cuantificar fen\u00f3menos del mundo real. Isaac Newton concibi\u00f3 el c\u00e1lculo diferencial con el prop\u00f3sito de captar el movimiento y el cambio, para lo cual los subdividi\u00f3 en \u201cfotogramas\u201d infinitesimales. No debe extra\u00f1ar que esta clase de invenciones \u201cactivas\u201d resulten eficaces: despu\u00e9s de todo, las herramientas est\u00e1n hechas a la medida. Lo sorprendente es la excelente precisi\u00f3n que alcanzan en algunos casos. Consideremos, por ejemplo, la electrodin\u00e1mica cu\u00e1ntica, la teor\u00eda concebida para describir la interacci\u00f3n entre luz y materia. Al emplearla para calcular el momento magn\u00e9tico del electr\u00f3n, la predicci\u00f3n te\u00f3rica reproduce el valor experimental m\u00e1s reciente (seg\u00fan las mediciones de 2008, 1,00115965218073, en las unidades apropiadas) con una precisi\u00f3n de unas pocas partes por bill\u00f3n.<\/p>\n
Pero lo que quiz\u00e1 resulte a\u00fan m\u00e1s sorprendente es que, otras veces, los matem\u00e1ticos generen nuevos campos de estudio sin ninguna aplicaci\u00f3n en mente y, d\u00e9cadas o siglos despu\u00e9s, los f\u00edsicos les encuentren utilidad para entender sus observaciones. Los ejemplos de esta clase de eficacia \u201cpasiva\u201d abundan. El matem\u00e1tico \u00c9variste Galois desarroll\u00f3 la teor\u00eda de grupos a principios del siglo XIX con el \u00fanico prop\u00f3sito de determinar las condiciones necesarias y suficientes para resolver ecuaciones polin\u00f3micas. A muy grandes rasgos, un grupo es una estructura algebraica compuesta por un conjunto de entidades (los n\u00fameros enteros, por ejemplo) y una serie de operaciones entre ellos (como la suma) que obedecen ciertas reglas (como la existencia de un elemento neutro \u2013el 0\u2212 que, al sumarlo a cualquier otro entero, da como resultado el mismo n\u00famero). La f\u00edsica del siglo XX hall\u00f3 en este campo tan abstracto la clave para categorizar las part\u00edculas elementales. En los a\u00f1os sesenta, Murray Gell-Mann y Yuval Ne\u2019eman mostraron de manera independiente que cierto grupo denominado SU(3) reflejaba el comportamiento de los hadrones (las part\u00edculas compuestas por quarks). Dicha conexi\u00f3n acab\u00f3 por forjar los fundamentos de la teor\u00eda moderna que explica por qu\u00e9 los n\u00facleos at\u00f3micos se mantienen unidos.<\/p>\n
La teor\u00eda de nudos proporciona otro hermoso ejemplo de eficacia pasiva. Los nudos matem\u00e1ticos son similares a los nudos comunes y corrientes, salvo que los primeros carecen de cabos sueltos. Hacia 1860, Lord Kelvin albergaba la esperanza de describir los \u00e1tomos como tubos de \u00e9ter anudados. Aquel modelo no hall\u00f3 ninguna correspondencia con la realidad, pero los matem\u00e1ticos continuaron estudiando los nudos durante largo tiempo. Hoy, la teor\u00eda de nudos nos ha ayudado a formular la teor\u00eda de cuerdas y la gravedad cu\u00e1ntica de bucles, nuestros mejores intentos por articular una teor\u00eda del espaciotiempo que reconcilie a la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica con la relatividad general. Del mismo modo, los hallazgos de Godfrey Harold Hardy en un campo tan abstracto como la teor\u00eda de n\u00fameros trajeron consigo grandes avances en criptograf\u00eda, a pesar de que el propio Hardy llegase a declarar que hab\u00eda hallado jam\u00e1s \u201cuna aplicaci\u00f3n b\u00e9lica de la teor\u00eda de n\u00fameros\u201d. En 1854, Bernhard Riemann desarroll\u00f3 las geometr\u00edas no eucl\u00eddeas, el estudio de los espacios en los que las l\u00edneas paralelas tienen permitido converger o divergir. M\u00e1s de medio siglo despu\u00e9s, Einstein se sirvi\u00f3 de la geometr\u00eda diferencial para construir la teor\u00eda general de la relatividad.<\/p>\n
Emerge un patr\u00f3n: los humanos inventan conceptos matem\u00e1ticos a trav\u00e9s de la abstracci\u00f3n de elementos del mundo que los rodea \u2013figuras, l\u00edneas, conjuntos, grupos, etc\u00e9tera\u2212, ya sea con alg\u00fan prop\u00f3sito concreto o simplemente por diversi\u00f3n. Despu\u00e9s, descubren conexiones entre dichos conceptos. Dado que ese proceso de invenci\u00f3n y descubrimiento es obra nuestra \u2013a diferencia del tipo de descubrimiento que postulan los platonistas\u2212, las matem\u00e1ticas se basan, en \u00faltimo t\u00e9rmino, en nuestras percepciones y en las im\u00e1genes mentales que somos capaces de evocar. Por ejemplo, todos poseemos un talento innato (que ha sido denominado \u201csubitaci\u00f3n\u201d, del ingl\u00e9s subitizing) que nos permite reconocer cantidades al instante; sin duda, esto nos condujo al concepto de n\u00famero. Contamos asimismo con grandes facultades para percibir los contornos de los objetos y distinguir entre l\u00edneas rectas y curvas, as\u00ed como entre formas diferentes, como c\u00edrculos y elipses. Tales habilidades probablemente nos guiaron hacia el desarrollo de la aritm\u00e9tica y la geometr\u00eda. Del mismo modo, nuestra experiencia constante sobre causas y efectos tambi\u00e9n debi\u00f3 contribuir, en parte al menos, a la creaci\u00f3n de la l\u00f3gica y, con ella, a la idea de que ciertos enunciados implican la validez de otros.<\/p>\n
Selecci\u00f3n y evoluci\u00f3n<\/p>\n
Al matem\u00e1tico alem\u00e1n Leopold Kroenecker debemos la famosa declaraci\u00f3n: \u201cDios cre\u00f3 los n\u00fameros naturales, todo lo dem\u00e1s es obra humana\u201d. Michael Atiyah, uno de los matem\u00e1ticos m\u00e1s brillantes del siglo XX, concibi\u00f3 un elegante experimento mental para ilustrar en qu\u00e9 medida nuestra percepci\u00f3n condiciona los conceptos matem\u00e1ticos que podemos concebir, incluso aquellos en apariencia tan fundamentales como los n\u00fameros. Imaginemos qu\u00e9 suceder\u00eda en un mundo en el que la inteligencia no fuese un atributo humano, sino exclusivo de una medusa solitaria y aislada en medio del oc\u00e9ano Pac\u00edfico. Todo en la experiencia de dicha criatura ser\u00eda continuo: desde el flujo del agua circundante hasta los cambios de temperatura y presi\u00f3n. Bajo tales condiciones, y en ausencia de otros objetos o cosa alguna de car\u00e1cter discreto, \u00bfsurgir\u00eda el concepto de n\u00famero? Si no hubiera nada que contar, \u00bfexistir\u00edan los n\u00fameros?<\/p>\n
Al igual que la medusa, tambi\u00e9n nosotros adoptamos herramientas matem\u00e1ticas aplicables a lo que nos rodea; un hecho que, indudablemente, ha contribuido a la eficacia de las matem\u00e1ticas. Los cient\u00edficos no escogen m\u00e9todos anal\u00edticos de manera arbitraria, sino bas\u00e1ndose en lo aptos que resulten para predecir resultados experimentales. Cuando, en una pista de tenis, la m\u00e1quina lanza una pelota tras otra, utilizamos los n\u00fameros naturales para describir el flujo de bolas. Pero cuando un bombero utiliza su manguera, debe recurrir a otros conceptos, como volumen o peso, si desea emitir una descripci\u00f3n inteligible del flujo de agua. Y cuando las part\u00edculas subat\u00f3micas chocan en un acelerador, se emplean conceptos como energ\u00eda y momento, pero no el n\u00famero de part\u00edculas, ya que en el proceso pueden crearse otras nuevas.<\/p>\n
Conforme pasa el tiempo, sobreviven solo los mejores modelos. Los fallidos \u2013como el intento de Ren\u00e9 Descartes de describir el movimiento de los planetas mediante v\u00f3rtices de materia c\u00f3smica\u2212 mueren al poco de haber nacido. Los modelos exitosos, en cambio, evolucionan a medida que disponemos de m\u00e1s y m\u00e1s informaci\u00f3n. La medici\u00f3n minuciosa de la precesi\u00f3n del perihelio de Mercurio, por ejemplo, nos llev\u00f3 a revisar la teor\u00eda newtoniana de la gravitaci\u00f3n y ampliarla por medio de la relatividad general de Einstein. Todo concepto matem\u00e1tico exitoso vive durante largo tiempo. La f\u00f3rmula para el \u00e1rea de una esfera es tan correcta hoy como lo fue cuando Arqu\u00edmedes la demostr\u00f3 hacia 250 a.C. Como resultado, en cada \u00e9poca disponemos de un arsenal de formalismos cada vez mayor en el que buscar los m\u00e9todos m\u00e1s apropiados.<\/p>\n
Los cient\u00edficos no se limitan a escoger la soluci\u00f3n que m\u00e1s se adapta a sus necesidades; seleccionan tambi\u00e9n los problemas que mejor se avienen a un tratamiento matem\u00e1tico. Existe, sin embargo, una serie de fen\u00f3menos para los que no es posible realizar predicciones matem\u00e1ticas precisas; en ocasiones, ni siquiera en principio. En econom\u00eda existen numerosas variables \u2013la psicolog\u00eda de las masas, por nombrar una sola\u2212 que no se prestan con facilidad a un an\u00e1lisis cuantitativo. La capacidad de predicci\u00f3n de una teor\u00eda depende de la constancia de las relaciones m\u00e1s profundas entre sus variables. Nuestros an\u00e1lisis tampoco capturan bien el comportamiento de los sistemas ca\u00f3ticos, aquellos en los que el menor cambio en las condiciones iniciales deriva en resultados por completo diferentes. Los matem\u00e1ticos han desarrollado la teor\u00eda de la probabilidad y la estad\u00edstica para lidiar con tales problemas, pero, como ya demostrara el l\u00f3gico Kurt G\u00f6del, incluso la matem\u00e1tica posee l\u00edmites.<\/p>\n
Simetr\u00eda y naturaleza<\/p>\n
La selecci\u00f3n cuidadosa de problemas y soluciones explica solo parcialmente el \u00e9xito de las matem\u00e1ticas para describir las leyes de la naturaleza: antes que nada, tales leyes deber\u00edan existir. Por fortuna, el cosmos parece regirse por leyes universales. Un \u00e1tomo a doce mil millones de a\u00f1os luz de distancia se comporta del mismo modo que un \u00e1tomo en la Tierra; la luz del pasado remoto y la del presente comparten las mismas propiedades, y las mismas fuerzas gravitatorias que moldearon las primeras estructuras c\u00f3smicas gobiernan hoy las galaxias. Para describir esta inmunidad al cambio, los f\u00edsicos y los matem\u00e1ticos han inventado el concepto de simetr\u00eda.<\/p>\n
Las leyes de la f\u00edsica parecen ser sim\u00e9tricas con respecto al espacio y al tiempo: su validez no depende de d\u00f3nde, cu\u00e1ndo o desde qu\u00e9 \u00e1ngulo se las examine. Se muestran id\u00e9nticas para cualquier observador, con independencia de si este permanece est\u00e1tico, se mueve a velocidad constante o de manera acelerada. Por tanto, las mismas leyes explican los mismos resultados, llevemos a cabo nuestros experimentos en China, Alabama o en la galaxia de Andr\u00f3meda, y los efectuemos hoy o dentro de mil millones de a\u00f1os. Si el universo careciese de tales simetr\u00edas, cualquier intento de descifrar su comportamiento \u2013cualquier modelo matem\u00e1tico basado en nuestras observaciones\u2212 se ver\u00eda abocado al fracaso, ya que tendr\u00edamos que repetir una y otra vez los mismos experimentos en cada lugar y en cada momento.<\/p>\n
Las leyes que describen las part\u00edculas subat\u00f3micas se basan en simetr\u00edas a\u00fan m\u00e1s sutiles: las llamadas simetr\u00edas gauge o \u201cde recalibraci\u00f3n\u201d. Debido a la borrosidad intr\u00ednseca del mundo cu\u00e1ntico, una misma part\u00edcula puede ser un electr\u00f3n \u2013dotado de carga negativa\u2212, un neutrino \u2013sin carga el\u00e9ctrica\u2212 o una mezcla de ambos; al menos, hasta que midamos su carga el\u00e9ctrica. Sucede que las leyes de la naturaleza adoptan la misma forma cuando intercambiamos electrones por neutrinos o por una mezcla de ambos. El mismo principio se aplica a otras part\u00edculas fundamentales. Sin dichas simetr\u00edas, hubiera resultado extremadamente dif\u00edcil hallar una formulaci\u00f3n de las interacciones fundamentales de la naturaleza. Tampoco habr\u00edamos avanzado gran cosa sin el principio de localidad, el hecho de que cualquier objeto solo pueda verse afectado por su entorno m\u00e1s inmediato y nunca por fen\u00f3menos distantes. Gracias a la localidad, podemos aspirar a construir un modelo matem\u00e1tico del universo tal y como armamos un rompecabezas: partiendo de una descripci\u00f3n de las interacciones b\u00e1sicas entre part\u00edculas elementales e incorporando sobre ellas m\u00e1s y m\u00e1s conocimiento.<\/p>\n
Nuestro mejor intento matem\u00e1tico por unificar todas las interacciones fundamentales requiere una simetr\u00eda m\u00e1s, denominada supersimetr\u00eda. En un universo supersim\u00e9trico, por cada part\u00edcula que conocemos deber\u00eda existir otra, a\u00fan por descubrir (su \u201ccompa\u00f1era supersim\u00e9trica\u201d). Hallar tales part\u00edculas (algo que quiz\u00e1 se logre cuando el Gran Colisionador de Hadrones del CERN, cerca de Ginebra, funcione a la m\u00e1xima energ\u00eda prevista) supondr\u00eda un triunfo m\u00e1s de la eficacia de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n
Comenc\u00e9 este art\u00edculo con dos preguntas b\u00e1sicas e interrelacionadas: \u00bfLa matem\u00e1tica, se inventa o se descubre? Y \u00bfqu\u00e9 otorga a las matem\u00e1ticas su poder de explicaci\u00f3n y predicci\u00f3n? Creo que sabemos la respuesta a la primera de ellas: las matem\u00e1ticas constituyen una fusi\u00f3n intrincada de invenciones y descubrimientos. Los conceptos son por lo general inventados y, aunque todas las relaciones correctas entre ellos existiesen antes de su descubrimiento, somos los humanos quienes decidimos cu\u00e1les estudiar. No cabe duda de que la selecci\u00f3n de asuntos que hemos decidido abordar por medios matem\u00e1ticos ha desempe\u00f1ado una funci\u00f3n importante en la eficacia percibida de la matem\u00e1tica. Pero esta no funcionar\u00eda si no existiesen propiedades universales esperando ser descubiertas. Pero, ahora, podr\u00edamos preguntarnos por qu\u00e9 la naturaleza se rige por leyes universales. O, de manera equivalente, por qu\u00e9 nuestro universo obedece ciertas simetr\u00edas y el principio de localidad. Ciertamente, desconozco la respuesta a tales preguntas; solo quisiera se\u00f1alar que, tal vez, en un universo sin esas caracter\u00edsticas, la complejidad y la vida jam\u00e1s habr\u00edan aparecido y no estar\u00edamos aqu\u00ed para hacernos tales preguntas.<\/p>\n
*Mario Livio es astrof\u00edsico te\u00f3rico en el Instituto Cient\u00edfico de Telescopios Espaciales de Baltimore. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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