{"id":17869,"date":"2019-08-06T14:56:31","date_gmt":"2019-08-06T14:56:31","guid":{"rendered":"https:\/\/moir.org.co\/web\/?p=17869"},"modified":"2019-08-06T14:56:31","modified_gmt":"2019-08-06T14:56:31","slug":"la-razonable-efectividad-de-las-matematicas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/moir.com.co\/web\/la-razonable-efectividad-de-las-matematicas\/","title":{"rendered":"La razonable efectividad de las matem\u00e1ticas"},"content":{"rendered":"

Clara Grima y Enrique F. Borja, Jot Down, julio de 2019<\/strong><\/p>\n

En 1960, el f\u00edsico y matem\u00e1tico h\u00fangaro\u00a0Eugene Wigner, a la saz\u00f3n premio Nobel de F\u00edsica por sus contribuciones a la teor\u00eda de las part\u00edculas elementales, publica un famoso art\u00edculo que llevaba por t\u00edtulo: \u00abThe unreasonable effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences\u00bb, (\u00abLa irrazonable efectividad de las matem\u00e1ticas en las ciencias naturales\u00bb).<\/p>\n

En dicho art\u00edculo se presenta la maravilla, el milagro, de que la matem\u00e1tica, que se considera una creaci\u00f3n propia de la mente humana sin ning\u00fan contacto con la realidad, sea tan efectiva a la hora de describir nuestros modelos y teor\u00edas en ramas tan dispares como la f\u00edsica, la qu\u00edmica, la sociolog\u00eda o la econom\u00eda. En palabras del propio Wigner:<\/p>\n

The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.<\/p>\n

(El milagro de la utilidad del lenguaje de las matem\u00e1ticas para la formulaci\u00f3n de las leyes de la f\u00edsica es un maravilloso don que ni entendemos ni merecemos).<\/p>\n

Ni que decir tiene que el art\u00edculo de marras produjo y sigue produciendo una mir\u00edada de trabajos y opiniones en uno y otro sentido, ya que, como se puede suponer, este punto de vista pone el acento en un problema fascinante. A saber, \u00bfc\u00f3mo es que la matem\u00e1tica sirve para describir el universo si sale de las cabezas de unos monos sin pelo?<\/p>\n

No es nuestra intenci\u00f3n enmendarle la plana al bueno de Wigner, ni tan siquiera consideramos que estemos a su altura. Tampoco somos inmunes a ese sentimiento de maravilla y fascinaci\u00f3n que se siente al descubrir c\u00f3mo un pu\u00f1ado de ideas matem\u00e1ticas son capaces de describir fen\u00f3menos que van desde el origen del universo hasta la propagaci\u00f3n de epidemias en nuestro mundo. Sin embargo, si tomamos un poco de distancia y reflexionamos sobre qu\u00e9 es matem\u00e1tica y qu\u00e9 es f\u00edsica, la relaci\u00f3n entre ambas se nos presenta meridianamente clara y natural. Elegimos la f\u00edsica por motivos personales, ya que uno de los autores ha invertido mucho tiempo en ella (y la otra autora es permisiva con esto), pero los argumentos que vamos a presentar son extrapolables a cualquier otro \u00e1mbito del conocimiento en el que las matem\u00e1ticas jueguen un papel fundamental.<\/p>\n

Para poder afrontar la discusi\u00f3n sobre la \u00edntima relaci\u00f3n entre matem\u00e1tica y f\u00edsica hemos de describir someramente qu\u00e9 es lo que entendemos por matem\u00e1tica. Esta puede parecer una cuesti\u00f3n extremadamente compleja y alambicada. Un tema exigente que requiere vastos conocimientos de este saber humano. Afortunadamente, no es el caso, porque la matem\u00e1tica es en esencia un juego, un juego maravilloso. Y fascinante.<\/p>\n

En matem\u00e1tica se definen los elementos del juego, n\u00fameros, conjuntos, funciones, vectores o lo que sea. Luego se definen las relaciones definidas entre dichos elementos, es decir, c\u00f3mo podemos operar entre esos elementos para encontrar elementos del mismo tipo o de otro tipo permitido. Es a partir de este momento donde el asunto se pone interesante. Todo lo que nos queda por hacer es encontrar todas las cosas que podemos formar con los elementos y las relaciones definidas de forma que podamos decir que son consistentes con las reglas del juego. Eso que los que hacen matem\u00e1ticas llaman teoremas. Un teorema, por lo tanto, no es m\u00e1s que una afirmaci\u00f3n hecha dentro de un \u00e1mbito de elementos bien definidos con reglas de relaci\u00f3n entre ellos bien definidas que es cierta dentro de ese contexto.<\/p>\n

Por ejemplo, desde el colegio se nos ha dicho que los tres \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo suman 180\u00ba. Esa es una verdad absoluta, inmutable, un teorema. Pero lo cierto es que esa es una verdad solo y solo si nuestros tri\u00e1ngulos son dibujados en un espacio plano donde se puede asegurar que por un punto exterior a una recta solo puede pasar una recta paralela a ella. Vamos, que es una afirmaci\u00f3n que es absolutamente cierta en hojas de papel o espacios similares de m\u00e1s dimensiones, pero que basta dibujar tri\u00e1ngulos sobre esferas, la superficie de una pelota, para ver como la suma de los tres \u00e1ngulos de un tri\u00e1ngulo es siempre mayor que 180\u00ba.\u00a0 As\u00ed que un teorema es una verdad absoluta siempre y cuando las condiciones del teorema sean aplicables.<\/p>\n

As\u00ed, un teorema no es m\u00e1s que una afirmaci\u00f3n de este tipo:<\/p>\n

SEAN estos elementos definidos de esta manera y que se pueden relacionar de estos modos. SI hacemos tal y tal cosa permitidas por las reglas definidas, ENTONCES obtendremos tal cosa.<\/p>\n

No entraremos aqu\u00ed en las diferentes estructuras de los teoremas, lo que s\u00ed diremos es que un teorema ha de ser demostrable. Es decir, que siguiendo las reglas que nos hemos impuestos ha de ser cierto que de las condiciones del teorema se obtiene la afirmaci\u00f3n final del mismo.<\/p>\n

En otro orden de cosas, la matem\u00e1tica se entiende como un lenguaje. Los elementos definidos jugar\u00edan el papel de las palabras, las reglas definidas, el de las reglas gramaticales correspondientes y, por lo tanto, los teoremas ser\u00edan las oraciones con sentido dentro de ese lenguaje. Ahora bien, la matem\u00e1tica tiene una caracter\u00edstica que la diferencia de cualquier otro lenguaje humano. Sus palabras y sus oraciones no tienen significado asociado. \u00bfQu\u00e9 queremos decir con eso?<\/p>\n

Pensemos en esta sencilla afirmaci\u00f3n matem\u00e1tica:<\/p>\n

x+3=5<\/p>\n

Desde el punto de vista matem\u00e1tico ah\u00ed hay mucho escondido. Para que eso tenga sentido se han tenido que definir los elementos, en este caso n\u00fameros naturales, y se han tenido que definir las relaciones entre ellos con sus propiedades y caracter\u00edsticas. En este caso hemos debido de definir, al menos, la suma de n\u00fameros naturales. Por lo tanto, esa relaci\u00f3n nos dice que hay un n\u00famero de los que hemos definido y que no sabemos cu\u00e1l es, representado por x, que sumado al n\u00famero 3 nos da el n\u00famero 5. Evidentemente, x=2 en este ejemplo tan simple. Pero lo que nos interesa apuntar aqu\u00ed es que tan solo significa eso, nada m\u00e1s y nada menos.<\/p>\n

Y es ahora cuando aparece uno de los aspectos de la magia de la matem\u00e1tica que tanto nos sobrecoge. Si estamos hablando de manzanas, esa expresi\u00f3n significar\u00e1 que dos manzanas m\u00e1s tres manzanas son un total de cinco manzanas. O tal vez estemos hablando de \u00e1tomos, o de euros, o de ni\u00f1os, o de armarios. Da igual, a la matem\u00e1tica le da exactamente lo mismo el significado que le demos a los elementos de esa expresi\u00f3n, en ella los significados no son importantes, solo es relevante la consistencia de las relaciones.<\/p>\n

Es por eso que una misma ecuaci\u00f3n matem\u00e1tica la podamos encontrar describiendo el movimiento del polen en suspensi\u00f3n acuosa, el comportamiento de las mol\u00e9culas de un gas o la evoluci\u00f3n de ciertas acciones de la bolsa. Maravilloso, sin duda, pero totalmente razonable.<\/p>\n

Aunque en este punto ya estemos clarificando nuestra postura ante el problema de la efectividad de las matem\u00e1ticas, queda un aspecto fundamental. La cuesti\u00f3n que hemos de responder es c\u00f3mo la matem\u00e1tica, que se puede considerar como un conjunto de elementos y relaciones entre ellos definidos a nuestro parecer, nos permite describir el comportamiento de sistemas f\u00edsicos.<\/p>\n

La raz\u00f3n tambi\u00e9n es asombrosamente simple y por ello hermosa y elegante. En f\u00edsica esperamos que, dados los mismos elementos, por ejemplo, cargas el\u00e9ctricas, en las mismas condiciones siempre se comporten de la misma manera, se atraigan, se repelan, etc. Es decir, que en f\u00edsica tenemos elementos b\u00e1sicos y luego relaciones entre los mismos, y seg\u00fan las relaciones existentes se podr\u00e1 dar tal o cual fen\u00f3meno. Es decir, la f\u00edsica busca regularidades en el universo. Pero \u00bfqu\u00e9 lenguaje humano es capaz de describir este tipo de situaciones? \u00bfQu\u00e9 nos permite definir elementos que se relacionen siempre de la misma manera y que dichas relaciones determinen lo que es posible o no hacer con dichos elementos de forma consistente? La respuesta no ser\u00e1 ninguna sorpresa, no es otra cosa que la matem\u00e1tica.<\/p>\n

Una afirmaci\u00f3n t\u00edpica en f\u00edsica, y tomaremos un ejemplo de secundaria, es la siguiente:<\/p>\n

Cualquier p\u00e9ndulo sometido a oscilaciones peque\u00f1as siempre tarda lo mismo en completar una oscilaci\u00f3n cuando est\u00e1 sometido a la misma intensidad de la gravedad y tiene la misma longitud de hilo, independientemente de su masa.<\/p>\n

Desde el punto de vista de la f\u00edsica hemos encontrado una regularidad. Sin embargo, a poco que lo pensemos, eso que acabamos de enunciar tiene una pinta asombrosamente parecida a un teorema matem\u00e1tico. \u00bfAcaso nos puede sorprender que sea la matem\u00e1tica el lenguaje con el que hacemos f\u00edsica? La respuesta ha de ser un rotundo no. Pero hemos de aclarar que, aunque no sea una sorpresa, eso no le resta ni un \u00e1pice de poes\u00eda y de maravilla.<\/p>\n

Para concluir esta reflexi\u00f3n hemos de hacer un comentario sobre un tema que nos parece importante. La relaci\u00f3n entre f\u00edsica y matem\u00e1ticas no es biun\u00edvoca, es decir, no hay una identificaci\u00f3n entre una teor\u00eda f\u00edsica y una teor\u00eda matem\u00e1tica. Dicho de otro modo, una misma teor\u00eda f\u00edsica que se ocupa de determinados fen\u00f3menos suele estar bien descrita por diferentes formulaciones matem\u00e1ticas. Por ejemplo, una de nuestras teor\u00edas f\u00edsicas m\u00e1s populares, la mec\u00e1nica cu\u00e1ntica, que tambi\u00e9n nos parece una cosa ca\u00edda de los cielos y que atenta imp\u00fadicamente contra nuestro tan querido y maltrecho sentido com\u00fan, se ocupa de los fen\u00f3menos m\u00e1s b\u00e1sicos de la f\u00edsica. La constituci\u00f3n de la materia, de qu\u00e9 est\u00e1n compuestos los \u00e1tomos, cu\u00e1l es la verdadera naturaleza de las interacciones f\u00edsicas como el electromagnetismo u otras, el comportamiento de nuevos materiales, etc., todo est\u00e1 descrito gracias a la cu\u00e1ntica. Sin embargo, existen no menos de nueve formulaciones matem\u00e1ticas diferentes de esa teor\u00eda f\u00edsica. Es decir, que como ya hemos dicho, a la matem\u00e1tica le da igual que la apliquemos a la cu\u00e1ntica o a cualquier otra cosa, de hecho, le da igual cu\u00e1l de sus ramas apliquemos. El caso es que a veces encontramos que distintos conjuntos de elementos con distintas relaciones definidas entre ellos pueden dar cuenta de los mismos fen\u00f3menos. Eso, en contra del desperdicio que nos pudiera parecer en un principio, es otro regalo maravilloso porque a veces es m\u00e1s f\u00e1cil aplicar un campo de las matem\u00e1ticas que otro a un determinado problema. Lo fant\u00e1stico es que se puede demostrar matem\u00e1ticamente que dichas ramas son totalmente equivalentes unas a otras. Es decir, hay diccionarios matem\u00e1ticos (se habla de relaciones entre teor\u00edas, categor\u00edas o functores) que demuestran que esas ramas dan resultados id\u00e9nticos cuando se aplican a describir los mismos fen\u00f3menos f\u00edsicos pero expresados de diferentes formas matem\u00e1ticas.<\/p>\n

Este \u00faltimo hecho nos permite aprovechar una gran bater\u00eda de resultados y teor\u00edas matem\u00e1ticas bien construidas a la hora de describir nuestro universo. La matem\u00e1tica nos otorga el don de la versatilidad y nos permite afrontar los problemas desde diferentes puntos de vista.<\/p>\n

Puede que parezca que en este art\u00edculo solo se ha hablado en la direcci\u00f3n de que existe una matem\u00e1tica bien establecida que aplicamos al entendimiento de distintos fen\u00f3menos f\u00edsicos. Sin embargo, a lo largo de la historia la f\u00edsica ha llevado a la matem\u00e1tica a sus l\u00edmites, y no es un chiste, y ha causado que se hayan de buscar nuevas ramas de la matem\u00e1tica, o ha propiciado nuevos resultados matem\u00e1ticos y nuevos teoremas en el transcurso de la investigaci\u00f3n de un fen\u00f3meno f\u00edsico. El ejemplo m\u00e1s manido es la invenci\u00f3n del c\u00e1lculo infinitesimal por parte de Newton para poder entender el movimiento de los cuerpos y las fuerzas, pero podr\u00edamos hacer una larga lista. Eso lo dejaremos para el futuro.<\/p>\n

Ahora nos gustar\u00eda acabar estas l\u00edneas con la siguiente reflexi\u00f3n:<\/p>\n

La f\u00edsica es matem\u00e1tica cuando esta se disfraza de universo.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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