{"id":16721,"date":"2019-01-07T14:41:38","date_gmt":"2019-01-07T14:41:38","guid":{"rendered":"https:\/\/moir.org.co\/web\/?p=16721"},"modified":"2019-01-07T14:41:38","modified_gmt":"2019-01-07T14:41:38","slug":"matematicas-alrededor-de-la-tabla-periodica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/moir.com.co\/web\/matematicas-alrededor-de-la-tabla-periodica\/","title":{"rendered":"Matem\u00e1ticas alrededor de la tabla peri\u00f3dica"},"content":{"rendered":"<p><strong>Antonio C\u00f3rdoba*, El Pa\u00eds (Espa\u00f1a), enero 4 de 2019<\/strong><\/p>\n<p><em>Este a\u00f1o se conmemora el 150 aniversario de la primera versi\u00f3n de ordenamiento de los elementos qu\u00edmico planteada por el ruso Dmitri Mendel\u00e9yev<\/em><\/p>\n<p>La Asamblea General de la ONU ha proclamado 2019 como el\u00a0a\u00f1o internacional de la tabla peri\u00f3dica, para celebrar los 150 transcurridos desde que el qu\u00edmico ruso Dmitri Mendel\u00e9yev diera a conocer su primera versi\u00f3n de la misma.\u00a0Aquel ordenamiento de los elementos, seg\u00fan su n\u00famero de protones y sus afinidades qu\u00edmicas, result\u00f3 ser una herramienta muy valiosa para explicar procesos qu\u00edmicos conocidos y anticipar nuevos descubrimientos.<\/p>\n<p>La tabla plantea muchas\u00a0cuestiones b\u00e1sicas cuya explicaci\u00f3n matem\u00e1tica, de forma deductiva y rigurosa desde los primeros principios, supone un enorme y fascinante desaf\u00edo intelectual. Un ejemplo es la propia noci\u00f3n de periodicidad en la ordenaci\u00f3n de los elementos; otro son los conceptos de valencia, orbital y energ\u00eda de ionizaci\u00f3n, pero tambi\u00e9n el que haya ciertos n\u00fameros especiales de electrones (2, 10, 18, 36, 54,\u2026) que impiden a los gases nobles participar en ninguna reacci\u00f3n.<\/p>\n<p>El\u00a0modelo at\u00f3mico introducido por Max Born y Robert Oppenheimer\u00a0est\u00e1 considerado como el m\u00e1s apropiado sobre el que construir la teor\u00eda matem\u00e1tica de la tabla. Seg\u00fan esta aproximaci\u00f3n, un \u00e1tomo consta de un n\u00facleo (de carga Z), que podemos suponer en el origen de coordenadas, y de Z electrones cuantizados que est\u00e1n descritos por la\u00a0funci\u00f3n de ondas \u03a8.\u00a0Permiti\u00e9ndonos la licencia de no tener en cuenta el \u201cspin\u201d, esta es una funci\u00f3n cuyo valor depende solamente de las posiciones de los electrones. La energ\u00eda del \u00e1tomo viene dada por el\u00a0hamiltoniano, H, en cuya expresi\u00f3n aparece la constante de Planck, la masa del electr\u00f3n, su carga y las posiciones, que son vectores en el espacio tridimensional. H es suma de tres t\u00e9rminos distintos: uno representa la atracci\u00f3n electrost\u00e1tica prot\u00f3n-electr\u00f3n; otro la repulsi\u00f3n, tambi\u00e9n electrost\u00e1tica, electr\u00f3n-electr\u00f3n; mientras que el tercero captura la energ\u00eda cin\u00e9tica de los Z electrones.<\/p>\n<p>La diferencia fundamental con las ecuaciones que describen el modelo cl\u00e1sico es que el t\u00e9rmino correspondiente a la energ\u00eda cin\u00e9tica (un medio de la masa por el cuadrado de la velocidad) es reemplazado por un operador diferencial de segundo orden en el\u00a0modelo cu\u00e1ntico. Adem\u00e1s, valores observables como la posici\u00f3n, el momento cin\u00e9tico, o la energ\u00eda, se convierten en operadores sobre el espacio de las funciones de onda. Estas funciones adem\u00e1s tienen una interpretaci\u00f3n probabil\u00edstica: la integral del cuadrado de su valor absoluto da la probabilidad de que el electr\u00f3n se encuentre en una regi\u00f3n dada del espacio.<\/p>\n<p>Pero mientras que en la mec\u00e1nica cl\u00e1sica los valores posibles de la energ\u00eda son simplemente los valores del hamiltoniano, que en esa teor\u00eda es una funci\u00f3n definida en el espacio de las fases, en mec\u00e1nica cu\u00e1ntica los valores de la energ\u00eda, obtenidos en las observaciones espectrosc\u00f3picas de la luz emitida por los \u00e1tomos son, precisamente, las cantidades E (llamadas autovalores) para las que la ecuaci\u00f3n H\u03a8= E\u03a8 tiene una soluci\u00f3n no nula.<\/p>\n<p>En el caso de Z=1, que corresponde al \u00e1tomo de hidr\u00f3geno, conocemos los valores E (llamados\u00a0n\u00fameros cu\u00e1nticos) y tambi\u00e9n las soluciones de la ecuaci\u00f3n H\u03a8= E\u03a8. Por tanto, se dispone de un modelo matem\u00e1tico muy completo que permite explicar satisfactoriamente las propiedades qu\u00edmicas de este elemento.<\/p>\n<p>Sin embargo, el caso Z &gt;1 es mucho m\u00e1s dif\u00edcil y carecemos de soluciones expl\u00edcitas. El espacio de las funciones de ondas \u03a8 es mucho m\u00e1s complicado. Una de sus propiedades conocidas es que son funciones de cuadrado integrable y antisim\u00e9tricas; es decir, \u03a8 cambia de signo cuando se intercambian las posiciones de dos electrones. Esta propiedad es fundamental en la teor\u00eda y codifica el llamado\u00a0principio de exclusi\u00f3n de Pauli, que afirma que los electrones son part\u00edculas indistinguibles que obedecen a la\u00a0estad\u00edstica de Fermi-Dirac(asociada a tiradas de dados indistinguibles).<\/p>\n<p>El estado fundamental,\u00a0es decir, el estado de energ\u00eda m\u00e1s bajo posible del \u00e1tomo, viene descrito por su funci\u00f3n de onda \u03a8 que minimiza la energ\u00eda, y se corresponde con el menor autovalor del hamiltoniano, H\u03a8= E(Z)\u03a8 , en el espacio antes descrito de funciones de onda (que sabemos que son antisim\u00e9tricas y de cuadrado integrable). Conocer expresiones precisas para el valor de esa energ\u00eda E(Z) es un primer paso fundamental para entender matem\u00e1ticamente la periodicidad de la tabla.<\/p>\n<p>Actualmente sabemos que E(Z) tiene un desarrollo en serie, cuyos tres primeros t\u00e9rminos son potencias del n\u00famero de electrones Z con exponentes decrecientes (7\/3, 2 y 5\/3), multiplicadas por unos coeficientes bien determinados. El primero de los t\u00e9rminos fue conjeturado por Enrico Fermi en 1927 y\u00a0demostrado rigurosamente\u00a0por Elliott Lieb y Barry Simon en 1977; el segundo propuesto por J.M.C Scott en 1950\u00a0y probado por Webster Hughes\u00a0en 1990; mientras que el tercero fue conjeturado por Julian Schwinger y Paul Dirac y finalmente\u00a0demostrado por Charles Fefferman y Luis Seco\u00a0en el a\u00f1o 1991. Esos t\u00e9rminos pueden ser deducidos con sencillas intuiciones f\u00edsicas, pero todos requieren complicados argumentos matem\u00e1ticos para ser rigurosamente demostrados.<\/p>\n<p>El siguiente t\u00e9rmino de E(Z) es de naturaleza m\u00e1s complicada (no es una potencia de Z) y tiene un car\u00e1cter oscilatorio (suma trigonom\u00e9trica casi peri\u00f3dica), que le otorga un particular inter\u00e9s a la hora de justificar matem\u00e1ticamente la tabla peri\u00f3dica, y pudiera muy bien ser el t\u00e9rmino de la energ\u00eda aportada por los electrones de valencia. Algunos resultados se han publicado al respecto, entre ellos,\u00a0el que firma el autor junto con Fefferman y Seco, donde establecimos una conexi\u00f3n de esta funci\u00f3n con una conjetura famosa de la teor\u00eda de los n\u00fameros (el llamado problema del c\u00edrculo y el ret\u00edculo). De manera que pudimos utilizar las estimaciones de sumas trigonom\u00e9tricas tan \u00fatiles en la teor\u00eda anal\u00edtica de los n\u00fameros para avanzar en el objetivo, todav\u00eda lejano, de vislumbrar la qu\u00edmica desde el razonamiento matem\u00e1tico m\u00e1s riguroso. El reto sigue abierto.<\/p>\n<p>*Director del ICMAT y catedr\u00e1tico de la Universidad Aut\u00f3noma de Madrid<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Antonio C\u00f3rdoba*, El Pa\u00eds (Espa\u00f1a), enero 4 de 2019 Este a\u00f1o se conmemora el 150 aniversario de la primera versi\u00f3n de ordenamiento de los elementos qu\u00edmico planteada por el ruso Dmitri Mendel\u00e9yev La Asamblea General de la ONU ha proclamado 2019 como el\u00a0a\u00f1o internacional de la tabla peri\u00f3dica, para celebrar los 150 transcurridos desde que [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[76],"tags":[],"class_list":["post-16721","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-ciencia"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/16721","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=16721"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/16721\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":16723,"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/16721\/revisions\/16723"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=16721"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=16721"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/moir.com.co\/web\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=16721"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}