Clara Grima y Enrique F. Borja, Jot Down, julio de 2019
En 1960, el físico y matemático húngaro Eugene Wigner, a la sazón premio Nobel de Física por sus contribuciones a la teoría de las partículas elementales, publica un famoso artículo que llevaba por título: «The unreasonable effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences», («La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales»).
En dicho artículo se presenta la maravilla, el milagro, de que la matemática, que se considera una creación propia de la mente humana sin ningún contacto con la realidad, sea tan efectiva a la hora de describir nuestros modelos y teorías en ramas tan dispares como la física, la química, la sociología o la economía. En palabras del propio Wigner:
The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve.
(El milagro de la utilidad del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un maravilloso don que ni entendemos ni merecemos).
Ni que decir tiene que el artículo de marras produjo y sigue produciendo una miríada de trabajos y opiniones en uno y otro sentido, ya que, como se puede suponer, este punto de vista pone el acento en un problema fascinante. A saber, ¿cómo es que la matemática sirve para describir el universo si sale de las cabezas de unos monos sin pelo?
No es nuestra intención enmendarle la plana al bueno de Wigner, ni tan siquiera consideramos que estemos a su altura. Tampoco somos inmunes a ese sentimiento de maravilla y fascinación que se siente al descubrir cómo un puñado de ideas matemáticas son capaces de describir fenómenos que van desde el origen del universo hasta la propagación de epidemias en nuestro mundo. Sin embargo, si tomamos un poco de distancia y reflexionamos sobre qué es matemática y qué es física, la relación entre ambas se nos presenta meridianamente clara y natural. Elegimos la física por motivos personales, ya que uno de los autores ha invertido mucho tiempo en ella (y la otra autora es permisiva con esto), pero los argumentos que vamos a presentar son extrapolables a cualquier otro ámbito del conocimiento en el que las matemáticas jueguen un papel fundamental.
Para poder afrontar la discusión sobre la íntima relación entre matemática y física hemos de describir someramente qué es lo que entendemos por matemática. Esta puede parecer una cuestión extremadamente compleja y alambicada. Un tema exigente que requiere vastos conocimientos de este saber humano. Afortunadamente, no es el caso, porque la matemática es en esencia un juego, un juego maravilloso. Y fascinante.
En matemática se definen los elementos del juego, números, conjuntos, funciones, vectores o lo que sea. Luego se definen las relaciones definidas entre dichos elementos, es decir, cómo podemos operar entre esos elementos para encontrar elementos del mismo tipo o de otro tipo permitido. Es a partir de este momento donde el asunto se pone interesante. Todo lo que nos queda por hacer es encontrar todas las cosas que podemos formar con los elementos y las relaciones definidas de forma que podamos decir que son consistentes con las reglas del juego. Eso que los que hacen matemáticas llaman teoremas. Un teorema, por lo tanto, no es más que una afirmación hecha dentro de un ámbito de elementos bien definidos con reglas de relación entre ellos bien definidas que es cierta dentro de ese contexto.
Por ejemplo, desde el colegio se nos ha dicho que los tres ángulos de un triángulo suman 180º. Esa es una verdad absoluta, inmutable, un teorema. Pero lo cierto es que esa es una verdad solo y solo si nuestros triángulos son dibujados en un espacio plano donde se puede asegurar que por un punto exterior a una recta solo puede pasar una recta paralela a ella. Vamos, que es una afirmación que es absolutamente cierta en hojas de papel o espacios similares de más dimensiones, pero que basta dibujar triángulos sobre esferas, la superficie de una pelota, para ver como la suma de los tres ángulos de un triángulo es siempre mayor que 180º. Así que un teorema es una verdad absoluta siempre y cuando las condiciones del teorema sean aplicables.
Así, un teorema no es más que una afirmación de este tipo:
SEAN estos elementos definidos de esta manera y que se pueden relacionar de estos modos. SI hacemos tal y tal cosa permitidas por las reglas definidas, ENTONCES obtendremos tal cosa.
No entraremos aquí en las diferentes estructuras de los teoremas, lo que sí diremos es que un teorema ha de ser demostrable. Es decir, que siguiendo las reglas que nos hemos impuestos ha de ser cierto que de las condiciones del teorema se obtiene la afirmación final del mismo.
En otro orden de cosas, la matemática se entiende como un lenguaje. Los elementos definidos jugarían el papel de las palabras, las reglas definidas, el de las reglas gramaticales correspondientes y, por lo tanto, los teoremas serían las oraciones con sentido dentro de ese lenguaje. Ahora bien, la matemática tiene una característica que la diferencia de cualquier otro lenguaje humano. Sus palabras y sus oraciones no tienen significado asociado. ¿Qué queremos decir con eso?
Pensemos en esta sencilla afirmación matemática:
x+3=5
Desde el punto de vista matemático ahí hay mucho escondido. Para que eso tenga sentido se han tenido que definir los elementos, en este caso números naturales, y se han tenido que definir las relaciones entre ellos con sus propiedades y características. En este caso hemos debido de definir, al menos, la suma de números naturales. Por lo tanto, esa relación nos dice que hay un número de los que hemos definido y que no sabemos cuál es, representado por x, que sumado al número 3 nos da el número 5. Evidentemente, x=2 en este ejemplo tan simple. Pero lo que nos interesa apuntar aquí es que tan solo significa eso, nada más y nada menos.
Y es ahora cuando aparece uno de los aspectos de la magia de la matemática que tanto nos sobrecoge. Si estamos hablando de manzanas, esa expresión significará que dos manzanas más tres manzanas son un total de cinco manzanas. O tal vez estemos hablando de átomos, o de euros, o de niños, o de armarios. Da igual, a la matemática le da exactamente lo mismo el significado que le demos a los elementos de esa expresión, en ella los significados no son importantes, solo es relevante la consistencia de las relaciones.
Es por eso que una misma ecuación matemática la podamos encontrar describiendo el movimiento del polen en suspensión acuosa, el comportamiento de las moléculas de un gas o la evolución de ciertas acciones de la bolsa. Maravilloso, sin duda, pero totalmente razonable.
Aunque en este punto ya estemos clarificando nuestra postura ante el problema de la efectividad de las matemáticas, queda un aspecto fundamental. La cuestión que hemos de responder es cómo la matemática, que se puede considerar como un conjunto de elementos y relaciones entre ellos definidos a nuestro parecer, nos permite describir el comportamiento de sistemas físicos.
La razón también es asombrosamente simple y por ello hermosa y elegante. En física esperamos que, dados los mismos elementos, por ejemplo, cargas eléctricas, en las mismas condiciones siempre se comporten de la misma manera, se atraigan, se repelan, etc. Es decir, que en física tenemos elementos básicos y luego relaciones entre los mismos, y según las relaciones existentes se podrá dar tal o cual fenómeno. Es decir, la física busca regularidades en el universo. Pero ¿qué lenguaje humano es capaz de describir este tipo de situaciones? ¿Qué nos permite definir elementos que se relacionen siempre de la misma manera y que dichas relaciones determinen lo que es posible o no hacer con dichos elementos de forma consistente? La respuesta no será ninguna sorpresa, no es otra cosa que la matemática.
Una afirmación típica en física, y tomaremos un ejemplo de secundaria, es la siguiente:
Cualquier péndulo sometido a oscilaciones pequeñas siempre tarda lo mismo en completar una oscilación cuando está sometido a la misma intensidad de la gravedad y tiene la misma longitud de hilo, independientemente de su masa.
Desde el punto de vista de la física hemos encontrado una regularidad. Sin embargo, a poco que lo pensemos, eso que acabamos de enunciar tiene una pinta asombrosamente parecida a un teorema matemático. ¿Acaso nos puede sorprender que sea la matemática el lenguaje con el que hacemos física? La respuesta ha de ser un rotundo no. Pero hemos de aclarar que, aunque no sea una sorpresa, eso no le resta ni un ápice de poesía y de maravilla.
Para concluir esta reflexión hemos de hacer un comentario sobre un tema que nos parece importante. La relación entre física y matemáticas no es biunívoca, es decir, no hay una identificación entre una teoría física y una teoría matemática. Dicho de otro modo, una misma teoría física que se ocupa de determinados fenómenos suele estar bien descrita por diferentes formulaciones matemáticas. Por ejemplo, una de nuestras teorías físicas más populares, la mecánica cuántica, que también nos parece una cosa caída de los cielos y que atenta impúdicamente contra nuestro tan querido y maltrecho sentido común, se ocupa de los fenómenos más básicos de la física. La constitución de la materia, de qué están compuestos los átomos, cuál es la verdadera naturaleza de las interacciones físicas como el electromagnetismo u otras, el comportamiento de nuevos materiales, etc., todo está descrito gracias a la cuántica. Sin embargo, existen no menos de nueve formulaciones matemáticas diferentes de esa teoría física. Es decir, que como ya hemos dicho, a la matemática le da igual que la apliquemos a la cuántica o a cualquier otra cosa, de hecho, le da igual cuál de sus ramas apliquemos. El caso es que a veces encontramos que distintos conjuntos de elementos con distintas relaciones definidas entre ellos pueden dar cuenta de los mismos fenómenos. Eso, en contra del desperdicio que nos pudiera parecer en un principio, es otro regalo maravilloso porque a veces es más fácil aplicar un campo de las matemáticas que otro a un determinado problema. Lo fantástico es que se puede demostrar matemáticamente que dichas ramas son totalmente equivalentes unas a otras. Es decir, hay diccionarios matemáticos (se habla de relaciones entre teorías, categorías o functores) que demuestran que esas ramas dan resultados idénticos cuando se aplican a describir los mismos fenómenos físicos pero expresados de diferentes formas matemáticas.
Este último hecho nos permite aprovechar una gran batería de resultados y teorías matemáticas bien construidas a la hora de describir nuestro universo. La matemática nos otorga el don de la versatilidad y nos permite afrontar los problemas desde diferentes puntos de vista.
Puede que parezca que en este artículo solo se ha hablado en la dirección de que existe una matemática bien establecida que aplicamos al entendimiento de distintos fenómenos físicos. Sin embargo, a lo largo de la historia la física ha llevado a la matemática a sus límites, y no es un chiste, y ha causado que se hayan de buscar nuevas ramas de la matemática, o ha propiciado nuevos resultados matemáticos y nuevos teoremas en el transcurso de la investigación de un fenómeno físico. El ejemplo más manido es la invención del cálculo infinitesimal por parte de Newton para poder entender el movimiento de los cuerpos y las fuerzas, pero podríamos hacer una larga lista. Eso lo dejaremos para el futuro.
Ahora nos gustaría acabar estas líneas con la siguiente reflexión:
La física es matemática cuando esta se disfraza de universo.